序列（Sequences）

一个序列可以被认为是一个按固定顺序排列的一列数列

a_1 ,a_2,a_3,.........a_n,.......

数字a_1被称为第一项，a_n被称为第n项，由于我们马上就要研究**==无穷序列（infinite sequences）==** 了,每一个a_n项后面还会再有一个==后继(successor)====a_{n+1}==

这个序列有时也会表示为：

\{a_n\} \; or \; \{a_n\}_{n=1}^{\infty}

需要注意的是n并不总是从1开始的：

\{\frac{n}{n+1}\}_{n=0}^{\infty}

确实有一些序列我们简单的枚举几项就可以分析出它们的通项公式，但是对于大部分的序列我们无法通过简单的通项公式来对其进行表示

有个大家都知道的例子--==斐波那契数列==：

$$ f_1 = 1 ;;;;f_2=1;;; f_n =f_{n-1} + f_{n-2} ;;;n \geq 3

这里我们还需要注意一点：序列是一个==定义域是正整数的函数==，所以它的==值域也不是连续的==，即它的==图像是由一连串不连续的点组成== # 序列的极限 一个序列$\{a_n\}$有**极限（Limit）L，** 则我们可以将其记为：

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L

这代表当$n$越大，$a_n$越接近$L$，如果$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在，则我们将这个序列称为**收敛的(converges\convergent)** 否则，我们称这个序列是**发散的(diverges\divergent)** 另一种定义： 对任意$\epsilon>0$,存在一个正整数$N$，使得

when ;;;n > N,;;;;;\lvert a_n-L \rvert<\epsilon

则称序列$\{a_n\}$有极限$L$ # 序列极限的定理与性质 ## 函数极限与序列极限间的转换 若$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=L$ and $f(n) = a_n$ （$n$是整数），则有：$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=L$ 毕竟序列也算一种函数：点击跳转 ## 夹逼定理 当$n\geq n_0$有$a_n \leq b_n \leq c_n$,而且$\lim\limits_{n\to \infty}a_n = \lim\limits_{n\to \infty}c_n = L$,则有$\lim\limits_{n\to \infty}b_n = L$ ## **绝对值极限定理** 若$\lim\limits_{n\to \infty}|a_n| = 0,$则$\lim\limits_{n\to \infty}a_n = 0$ ## 常用的数列极限运算法则 若序列$\{a_n\}$以及$\{b_n\}$均是收敛的，$c$是一个常数，则有：  # 序列的递增递减与单调 若一个序列$\{a_n\}$中，当$n\geq 1$时，有$a_n \leq a_{n+1}$,则我们称这个序列是**递增（increasing）** 的 若一个序列$\{a_n\}$中，当$n\geq 1$时，有$a_n \geq a_{n+1}$,则我们称这个序列是**递减（decreasing）** 的 **若一个序列是递增或是递减，则我们称它是单调的（monotonic）** # 有界序列 如果存在一个数字$M$，使得： 对于所有的 $n\geq 1$ 都有 $a_n\leq M$ **则这个序列****$\{a_n\}$****是有上界的（bounded above）** 如果存在一个数字$m$，使得： 对于所有的 $n\geq 1$ 都有 $a_n\geq m$ **则这个序列****$\{a_n\}$****是有下界的（bounded below）** 如果一个**序列既有上界又有下界**，则这个序列被称为**有界序列（bounded sequence）** # 单调序列定理 **每一个有界的单调序列都是收敛的** # 级数（series） 如果我们尝试把无穷序列$\{a_n\}_{n=1}^\infty$的每一项都加起来，我们会得到：

a_1+a_2+a_3......+a_n+......

我们将其称为**无穷级数（infinite series）或级数（series）** ，它可以用符号来简洁的表示： $$\sum_{n=1}^\infty a_n \;\;\;or\;\;\; \sum a_n

不过计算一个无穷序列中每一项的和真的有意义吗，有的无穷序列中所有项的和根本算不出来吧：

1+2+3+4+5+............+n+............

在这个数列中n越大级数越大，根本看不到头啊

不过如果我们考虑一下下面这个序列呢：

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+......+\frac{1}{2^n}+......

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+......+\frac{1}{2^n}+......=1

我们使用与数列极限相似的方法来判断一个序列究竟能不能求出一个和

我们首先来考虑一下一个序列的部分和（partial sum）

s_1 = a_1

s_2 = a_1+a_2

s_3 = a_1+a_2+a_3

s_4=a_1+a_2+a_3+a_4

......

我们可以总结一下：

s_n=a_1+a_2+a_3+a_4+......+a_n=\sum^n_{i=1}a_i

我们发现，这些部分和又构成了一个全新的序列\{s_n\},这个序列可能有极限，也可能没有极限

如果序列\{s_n\}是有极限的，则我们将这个极限称为无穷级数的和（sum of the infinite series）

定义

给定一个级数\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+.....，令s_n表示这个级数前n项的部分和：

s_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1+a_2+a_3+......+a_n

如果序列\{s_n\}是收敛的且当n\to \infty时极限s存在且是一个实数，则级数\sum a_n是收敛的， 我们将其记为：

\sum_{n=1}^\infty a_n = s

s被称为级数的项，否则，这个级数是发散的（divergent）

判断级数是否发散的方法

==如果级数====\sum_{n=1}^\infty a_n====是收敛的，那么====\lim_{n \to \infty }a_n = 0==

这个定理说明，对于任何收敛的级数，其项的极限必须为0。这是级数收敛的必要条件，如果==一个级数的项不趋于0，那么这个级数一定是发散的==

==需要注意的是如果一个级数的项趋近于零，我们不能直接得出这个级数是收敛的结论==（调和级数就是一个反例）

收敛级数的计算规则

若\sum a_n和\sum b_n是收敛级数则：

\sum _{n=1}^\infty ca_n = c\sum _{n=1}^\infty a_n

\sum_{n=1}^\infty(a_n+b_n) = \sum_{n=1} ^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n

\sum_{n=1}^\infty(a_ n-b_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n-\sum_{n=1}^\infty b_n

几何级数（geometric series）

有一个几何级数：

\sum^\infty_{n=1}ar^{n-1} = a+ar+ar^2+......

当**|r|<1**时这个级数是收敛的，级数和是

\sum^\infty_{n=1}ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}

当**｜r｜\geq 1** ,几何级数是发散的

换句话说，收敛的几何级数的和是：

\frac{frist opstion}{1 - q(common\;ratio)}

调和级数（Harmonic series）

大概长这样：

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....

发散性：尽管每一项随着 n 的增大而逐渐接近于 0，但调和级数的和会无限增大，因此它是发散的。这意味着调和级数没有有限的和。

增长速度：调和级数的增长速度非常慢。随着项数的增加，级数的和的增长速度会逐渐减慢。

数学应用：调和级数在数学分析、数论以及物理学中有广泛的应用，例如在计算某些积分、级数的收敛性测试和某些物理过程的建模中。

调和平均数：调和级数与调和平均数（Harmonic Mean）有关，后者是一种平均数的计算方式，用于一组数值，特别是当这些数值代表速率或比例时。