切比雪夫多项式

简介

19世纪中期，切比雪夫致力于寻找在区间 $[-1,1]$ 上带权正交的多项式，以解决函数逼近中的极值问题。这类多项式需要满足

最小偏差性质：在所有 $n$ 次多项式中，其在区间内的最大绝对值偏差最小
正交性（带权）：在权函数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的积分下正交

切比雪夫通过研究拥有类似性质的三角函数系，发现 $\cos(n\theta)$ 的展开式可以表示为关于 $x=\cos\theta$ 的多项式 $T_n(x)$

更为一般的
由多倍角公式 $\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)$ ，引入变量替换 $x=\cos\theta$ ，将三角函数方程转化为多项式方程，并令 $y=T_n(x)=\cos(n\theta)$
通过链式法则计算导数
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$\frac{dy}{d\theta}=-n\sin(n\theta)$

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由 $x=\cos\theta$ ，可得
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$\frac{d\theta}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

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故
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$\frac{dy}{dx}=\frac{n\sin(n\theta)}{\sqrt{1-x^2}}$

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再进一步求二阶导，通过链式法则展开并化简，最终消去 $\theta$ ，得到
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$(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-x\frac{dy}{dx}=-n^2y$

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假设这个方程的解为幂级数 $y=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ ，代入方程后得到系数递推公式
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$a_{k+2}=\frac{(k^2-n^2)}{(k+1)(k+1)}a_k$

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该递推关系揭示了这个级数系数的规律，并且经证明，在 $n$ 为正整数时，该级数会截断为有限次多项式，这个多项式，即切比雪夫多项式

这里我们只介绍第一类切比雪夫多项式 $T_n(x)$ ，它是选择 $a_0=1,a_1=0$ 加上递推公式得到的，以下的切比雪夫多项式，均指第一类切比雪夫多项式

性质

递推公式

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$T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$

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证明：
通过三角函数的加法公式展开 $\cos[(n+1)\theta]$ 和 $\cos[(n-1)\theta]$ ，并利用关系
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$\cos[(n+1)\theta]+\cos[(n-1)\theta]=2\cos\theta\cos(n\theta)$

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代入 $x=\cos\theta$ 得到结果

带权正交

在区间 $[-1,1]$ 上，在权函数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 下
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$\int_{-1}^1T_m(x)T_n(x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left\{ \begin{matrix} \pi & m=n=0\\ \frac{\pi}{2} & m=n\ne 0\\ 0 & m\ne n \end{matrix} \right.$

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证明：
首先由基本关系 $\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)$ 和 $x=\cos\theta$ 得到 $T(x)=\cos(n\arccos x)$ ，于是积分变为
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$\int_{0}^\pi \cos(m\phi)\cos(n\phi)d\phi$

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这里 $\phi=\arccos x$ ，这里我们也可以窥见为什么权函数选择 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ，因为这会使得积分容易计算

系数递推关系

考虑切比雪夫多项式
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$T_n(x)=\sum_{i=1}^n a_{ni}x^i$

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在 $n\ge 2$ 时使用递推公式 $T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$ ，得到
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$\begin{aligned} &\sum_{i=0}^n a_{ni}x^i\\ &=2x\sum_{i=0}^{n-1}a_{n-1,i}x^i-\sum_{i=0}^{n-2}a_{n-2,i}x^i\\ &=2\sum_{i=0}^{n-1}a_{n-1,i}x^{i+1}-\sum_{i=0}^{n-2}a_{n-2,i}x^i\\ &=2\sum_{i=1}^{n}a_{n-1,i-1}x^{i}-\sum_{i=0}^{n-2}a_{n-2,i}x^i\\ &=a_{n-2,0}+\sum_{i=1}^{n-2}(2a_{n-1,i-1}-a_{n-2,i})x^i\\ &+2a_{n-1,n-2}x^{n-1}+2a_{n-1,n-1}x^n \end{aligned}$

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故得在 $n\ge 2$ 时有：
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$\begin{aligned} &a_{n,0}=a_{n-2,0}\\ &a_{n,i}=2a_{n-1,i-1}-a_{n-2,i},i=1,\cdots,n-2\\ &a_{n,n-1}=2a_{n-1,n-2}\\ &a_{n,n}=2a_{n-1,n-1} \end{aligned}$

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母函数

切比雪夫多项式的母函数为
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$G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}$

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使用母函数可以获得任意阶切比雪夫多项式
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$T_k(x)=\frac{d^kG}{dx^k}|_{t=0}$

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切比雪夫多项式的显式表示方法

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$\begin{aligned}&T_n(x)=\frac{1}{2}((x-\sqrt{x^2-1})^n+(x+\sqrt{x^2-1})^n)\\ &=\frac{1}{2}((x-\sqrt{x^2-1})^n+(x-\sqrt{x^2-1})^{-n}) \end{aligned}$

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证明：
已知 $T_n(x)=\cos(n\theta),x=\cos\theta$
使用欧拉公式得到 $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\cos(n\theta)=\frac{e^{in\theta}+e^{-in\theta}}{2}$
设代数变量 $z=e^{i\theta}$ ，则又 $\cos\theta$ 的欧拉公式得到
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$z+z^{-1}=2\cos\theta=2x$

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解得 $z=x\pm\sqrt{x^2-1}$
代入 $\cos(n\theta)$ 的欧拉公式，则第一条等式得证

又因为 $x\pm\sqrt{x^2-1}$ 是代数共轭，它们乘积满足
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$(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})=1$

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由此性质可得第二条等式成立

对称性

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$T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$

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证明：
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$\begin{aligned} &T_n(-x)=T_n(-\cos\theta)\\ &=T_n(\cos(\theta+\pi))\\ &=\cos(n\theta+n\pi)\\ &=\cos(n\theta)\cos(n\pi)+\sin(n\theta)\sin(n\pi)\\ &=(-1)^nT_n(\cos\theta)\\ &=(-1)^nT_n(x) \end{aligned}$

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特别地 $T_n(1)=1,T_n(-1)=(-1)^n$

根与极值

$T_n(x)=0$ 的根为
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$x_k=\cos(\frac{\pi(k+\frac{1}{2})}{n}),k=0,\cdots,n-1$

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证明：
由 $\cos(n\theta)=0$ 得到 $\theta$ 后代入 $x=\cos\theta$ 即得

$T_n(x)$ 的极值点为
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$x_k=\cos(\frac{k}{n}\pi),k=0,\cdots,n$

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证明：
类似上面的思路，求导得到

乘积和加和

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$T_m(x)T_n(x)=\frac{1}{2}(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x))$

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证明：
使用积化和差公式 $2\cos x\cos y=\cos(x+y)+\cos(x-y)$ 和 $T_k(x)=\cos(k\arccos x)$ 得到

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$T_{mn}(x)=T_m(T_n(x))=T_n(T_m(x))$

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证明：
由 $T_k(x)=\cos(k\arccos x)$ 得到