前言

参考知乎@DBinary 的文章

离散余弦变换（DCT）

介绍

首先回顾DFT的公式
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\begin{aligned} &\hat{x}_k=\sum_{j=0}^{N-1}x_jw_N^{jk}\\ &=\sum_{j=0}^{N-1}x_j(\cos\frac{2\pi jk}{N}-i\sin\frac{2\pi jk}{N})\\ &=\sum_{j=0}^{N-1}x_j\cos\frac{2\pi jk}{N}-i\sum_{j=0}^{N-1}x_j\sin\frac{2\pi jk}{N} \end{aligned}

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可以看到，DFT变换结果的实部只有余弦函数，虚部只有正弦函数
不妨令
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\begin{aligned} &Re[k]=\sum_{j=0}^{N-1}x_j\cos\frac{2\pi jk}{N}\\ &Im[k]=\sum_{j=0}^{N-1}x_j\sin\frac{2\pi jk}{N} \end{aligned}

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在信号x_j为全实数信号时，容易得到
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\begin{aligned} &Re[-k]=Re[k]\\ &Im[-k]=-Im[k] \end{aligned}

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若x_j是一个偶信号，那么变换后的虚部会相互抵消
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但是对于一般信号该怎么办呢？

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这里我们就需要用到与计算余弦级数时相同的思想，即进行偶延拓

将原来离散的位于[0,N-1]内的N点实信号进行偶延拓至[-N,N-1]内的2N点信号

但是因为信号是离散的，可以看到此时的信号还并不为“偶函数”，所以为了让信号关于原点对称，我们考虑将整个延拓后的信号修正右移\frac{1}{2}单位

此时信号变为对称形式，它的DFT为
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\hat{x}_k=\sum_{j=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}}x_{j-\frac{1}{2}}w_{2N}^{jk}

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将其展开后，容易得知虚数部分已经为零，故得
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\hat{x}_k=\sum_{j=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}}x_{j-\frac{1}{2}}\cos(\frac{2\pi jk}{2N})=2\sum_{j=\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}}x_{j-\frac{1}{2}}\cos(\frac{\pi jk}{N})

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之后换元求和索引，令n=j-\frac{1}{2}得
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\hat{x}_k=2\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos(\frac{(n+\frac{1}{2})\pi k}{N})

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这就是DCT的变换公式（DCT-II型，非归一化形式）

而它的逆变换公式为
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x_n=\frac{1}{N}(\frac{1}{2}\hat{x}_0+\sum_{k=1}^{N-1}\hat{x}_k\cos(\frac{(n+\frac{1}{2})\pi k}{N}))

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有一些教材也会省略DCT正向变换公式前面的2，但在逆变换时，前面乘2修正，效果是相同的
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\begin{aligned} &\hat{x}_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos(\frac{(n+\frac{1}{2})\pi k}{N})\\ &x_n=\frac{2}{N}(\frac{1}{2}\hat{x}_0+\sum_{k=1}^{N-1}\hat{x}_k\cos(\frac{(k+\frac{1}{2})\pi n}{N}))\\ \end{aligned}

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DCT相较于DFT具有更好的频域能量聚集度，对于不重要的品与信息可以直接过滤掉，因此DCT变换被广泛用于图像压缩算法，比如JPEG算法