矩阵的逆（Matrix Inverses）

回顾一下，如果存在一个方阵（记作 $A^{-1}$ ）使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ ，那么方阵 A 被称为可逆的。 $A^{-1}$ 被称为 $A$ 的逆。不可逆的矩阵通常被称为奇异矩阵。

定理（有且只有一个逆）：

如果矩阵 A 是可逆的，那么它只有一个逆。

（这个在第二次作业中的第三题有所提及）

根据这个定理我们还可以得出另外一个定理

定理（同一个矩阵如果有两个逆，则两个逆相等）

如果 $B$ 和 $C$ 都是矩阵 $A$ 的逆，那么 $B=C$ 。

定理（两个可逆方阵相乘结果依然可逆）

如果 $A$ 和 $B$ 是可逆的 $n\timesn$ 矩阵，那么 $AB$ 也是可逆的，并且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

注意：任意数量的可逆矩阵的乘积也是可逆的，并且乘积的逆是逆的乘积，但顺序相反。
值得思考的是，我们应该如何使用线性变换来解释这一点？

矩阵的幂（Powers of a Matrix）（计算）

A^n=AAA…A(n \;\;\;times)

A^0=I\;\;\;\;\;\; same\;\; as\;\;a^0=1

A ^{-n}=(A^{-1}) ^n

(A ^{-1})^{-1}=A

(A^n)^{-1}=A^{-n}=(A^{-1})^n

A ^{-n}=(A^{-1}) ^n

矩阵转置的性质（Properties of the Matrix Transpose）

以下性质对于任何大小合适的矩阵 A 和 B 都很容易证明。

$(A^T)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(cA)^T=c(A^T)$ （标量乘法）
$(AB)^T=B^TA^T$ （矩阵乘法）(值得注意的是，这里转置后的矩阵乘的顺序变了)
如果 $A$ 是可逆的，那么 $A^T$ 也是可逆的。
$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ ，即 $(A^T)$ 的逆等于 $A^{-1}$ 的转置。

定义（对称矩阵：symmetric）

如果一个矩阵等于其转置（即 $A=A^T$ ），则称该矩阵为对称矩阵。（也称为元素的“镜像”。）

举个例子：

\begin{pmatrix} 1&3&2\\ 3&0&5\\ 2&5&9 \end{pmatrix}

是对称的。

值得注意的是，两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵

线性方程组（Systems of Linear Equations）

现在我们已经看到了矩阵如何在描述空间操作中发挥作用，这对于计算机图形学和机器人技术非常有用。但线性代数之所以应用广泛的主要原因之一是，它有助于解决某些方程组问题，这构成了本模块的主要研究课题之一。

定义（线性方程）

线性方程是多项式方程，其中包含任意数量的变量，且任何项的最高次数为 $1$ 。

定义（线性方程组）

在变量 $x_1,x_2,...,x_n$ 中的有限个线性方程集合被称为线性方程组或线性系统

例子（线性方程组）：

\begin{cases} 3x+4y+6z+t=4\\ 2x+2y-z=3\\ x-5y+z+6t=2 \end{cases}

一个包含3个方程和4个变量的线性方程组

\begin{cases} 3x+2y=6\\ -x-y=102 \end{cases}

包含2个方程和2个变量的线性方程组

\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=7 \\ 2x_1+x_2-3x_3-x_4=9\\ 3x_1+3x_2-5x_3=10\\ 4x_2-7x_4=252\end{cases}

包含4个方程和4个变量的线性方程组

为了解决多于一个变量的方程组，你需要找到每个变量的值，使得所有方程都成立。

例子（从线性方程组向矩阵转化）：

考虑以下线性方程组：

\begin{cases} x + 2y + 3z = -1\\ 4x + 5y + 6z = 0\\ 7x + 8y - z = 3 \end{cases}

这个方程组看起来非常像矩阵向量乘法。我们可以将它表示为 $Ax=b$ 的形式，其中

A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&-1 \end{pmatrix} ,x=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ,b=\begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix}

让我们通过 $Ax$ 来验证这一点：

Ax=\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y+3z\\ 4x+5y+6z\\ 7x+8y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix} =b

其实我们也可以通过几何的角度去解释这个问题：

寻找一个向量 x ，使得在应用变换 A 后落在 b 上。

求解

为了简单起见，我们先从含有两个变量的线性方程组说起：

\begin{cases} x+y=-4\\ 0x+y=-1 \end{cases}

仿照上面的例子进行以下转化：

\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\-1 \end{pmatrix}

这个方程的解取决于与变换是否与矩阵 A相关：

将所有空间压缩到更低维度（一条线或一个点），即 $det(A)=0$
空间保持为二维，即 $det(A)\neq0$ ，如本例中 $det(A)=1$ 。

逆变换对应于一个单独的线性变换，称为 $“A 的逆”$ ，记作 $A^{-1}$ 。

使用 $A$ 去乘它的逆，我们就会获得一个“变换了个寂寞(屁都不干)”的矩阵：

A^{-1}A= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}

回归正题，让我们看看该怎么求解吧：

对于线性系统 $Ax=b$ ,如果 $A$ 是可逆的，则我们可以在等号两边同时 $A^{-1}$ :

$\to A^{-1}Ax=bA^{-1} \to Ix=A^{-1}b \to x=A^{-1}b$

这仅在 $A$ 是可逆的情况下给出 $x$ 的解。

算一下 $A$ 的逆：

A^{-1}=\frac{1}{30} \begin{pmatrix} -53&26&-3\\ 46&-22&6\\ -3&6&-3 \end{pmatrix}

按照上面的步骤求解：

\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -53&26&-3\\ 46&-22&6\\ -3&6&-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\0\\3 \end{pmatrix} =\frac{1}{30} \begin{pmatrix} 53+0-9\\ -46+0-18\\ 3+0+9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{22}{15}\\-\frac{14}{15}\\-\frac{1}{5} \end{pmatrix}

于是： $x=\frac{22}{15}$ , $y=-\frac{14}{15}$ , $z=-\frac{1}{5}$