离散切比雪夫变换

前言

暂不考虑补充推导过程

简介

离散切比雪夫插值主要用于函数逼近、信号处理和数值分析，相比于拉格朗日插值，切比雪夫变换诱导的多项式插值可以有效的解决插值过程中的龙格现象

插值

变体1

首先定义插值节点
::: align-center
x_j=-\cos(\frac{\pi}{N}(j+\frac{1}{2})),j=0,\cdots,N-1

:::

这些点被称为第二类切比雪夫节点，也成为Chebyshev-Gauss-Lobatto节点，在这些点上采样获得y_j
注：可以注意到，相较于拉格朗日插值的x_j可任意采样，切比雪夫插值节点的采样点是不能任取的

插值多项式的形式为
::: align-center
y_j=\sum_{k=0}^{N-1}a_kT_k(x_j)

:::
其中系数a_k的计算公式为
::: align-center
a_k=\frac{p_k}{N}\sum_{j=0}^{N-1}y_j(-1)^j\cos(\frac{k\pi}{N}(j+\frac{1}{2}))

:::
其中，修正因子p_k=\left\{\begin{matrix}1 & k=0\\2 & k\ge 1\end{matrix}\right .

变体2

另一种定义是使用第一类切比雪夫节点
::: align-center
x_j=-\cos(\frac{j\pi}{N}),j=0,\cdots,N-1

:::
插值多项式相同

此时系数a_k的计算公式为
::: align-center
a_k=\frac{p_k}{N}[\frac{1}{2}(y_0(-1)^j+y_N)+\sum_{j=1}^{N-1}y_jT_k(x_j)]

:::
其中，修正因子p_k=\left\{\begin{matrix}1 & k=0\\2 & k\ge 1\end{matrix}\right .