问题

考虑一个一般形式的圆锥曲线方程
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ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0

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判断其类型

解决方法

我们需要解决的首要问题是：消去交叉项2hxy

因此，考虑将其写为矩阵运算的形式，首先考虑二次项ax^2+2hxy+by^2，它可以写为一个二次型
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v^TAv

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其中v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}，A=\begin{pmatrix}a&h\\h&b\end{pmatrix}
而后侧的一次项可写为
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2d^Tv

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其中d=\begin{pmatrix}g\\f\end{pmatrix}

考虑到我们的目标，需要考虑的首要问题是简化矩阵A，特别地，当矩阵A被简化为对角矩阵时，我们的目的就达成了，例如矩阵A为\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\end{pmatrix}时，若不考虑v的变化，则整个二次项变为A_1x^2+A_2y^2

因此，很自然的想到：如果A是可对角化的，问题将迎刃而解

考虑矩阵A，在a,b,h\ne 0;a,b,h\in\mathbb{R}的情况下，它是一个实对称矩阵，而有定理
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A是一个实对称矩阵，则一定有一个正交矩阵Q，使得Q^{-1}AQ=\Lambda或Q^TAQ=\Lambda

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故A一定可以进行相似对角化，考虑其对角化后的矩阵为\Lambda而过渡矩阵为Q，则有
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A=Q\Lambda Q^T

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带入原方程有：
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v^TQ\Lambda Q^Tv+2d^Tv+c=0

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现在令u=Q^Tv=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}，因为Q可逆，可以得到v=Qu，于是式子变为：
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u^T\Lambda u+2d^TQu+c=0

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此时目的基本达成

在求解Q时，需要按照实对称矩阵的相似正交对角化步骤进行，一般地：

1. 求解A的特征值
2. 求解A的特征向量
   1. 对于代数重数为1的特征值，直接计算得到其基础解系，之后单位化得到特征向量
   2. 对于代数重数大于1的特征值，计算得到基础解系后，对各个基础解系进行施密特正交化并单位化后得到特征向量
3. 使用2.中得到的特征值和特征向量排布得到\Lambda和Q

更特别地，如果想将简化后的方程进一步化为更标准的圆锥曲线形式，假设其经上面的步骤简化后的形式为：
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\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+2\phi x'+2\psi y'+c=0

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此时可考虑配方求解
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\lambda_1(x'^2+\frac{2\phi x'}{\lambda_1})+\lambda_2(y'^2+\frac{2\psi y'}{\lambda_2})+c=0

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配方后得到
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\lambda_1(x'+\frac{\phi}{\lambda_1})^2+\lambda_2(y'+\frac{\psi}{\lambda_2})^2=p

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其中p=\frac{\phi^2}{\lambda_1}+\frac{\psi^2}{\lambda_2}-c，令x_1=x'+\frac{\phi}{\lambda_1},y_1=y'+\frac{\psi}{\lambda_2}，将等式两侧同除p即得标准形式

另一种理解方式

从笔者的这篇文章可以看到，将这些圆锥曲线化为容易判别形式的重要步骤是进行旋转变换，而上面我们所求得的矩阵Q，实际上就是一个旋转矩阵，在欧氏空间中它一定为正交矩阵

现在我们来考虑不进行特征分解获得Q及\Lambda的方法，首先设旋转矩阵为
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Q=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

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而坐标变换为v=Qu，即
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\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}

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解得
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\left\{\begin{aligned}&x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\&y=x'\sin\theta+y'\cos\theta\end{aligned}\right .

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带入原方程
xy项：
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\begin{aligned}&2hxy=2h(x'\cos\theta-y'\sin\theta)(x'\sin\theta+y'\cos\theta)\\&=2h(x'^2\cos\theta\sin\theta+x'y'\cos^2\theta-x'y'\sin^2\theta-y'^2\sin\theta\cos\theta)\end{aligned}

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x^2项：
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\begin{aligned}&ax^2=a(x'\cos\theta-y'\sin\theta)^2\\&=a(x'^2\cos^2\theta-2x'y'\cos\theta\sin\theta+y'\sin^2\theta)\end{aligned}

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y^2项：
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\begin{aligned}&by^2=b(x'\sin\theta+y'\cos\theta)^2\\&=b(x'^2\sin^2\theta+2x'y'\sin\theta\cos\theta+y'^2\cos^2\theta)\end{aligned}

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因为我们希望旋转前的，由x',y'表示的圆锥曲线方程不含交叉项x'y'，因此令其系数为0
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-2a\cos\theta\sin\theta+2h(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+2b\cos\theta\sin\theta=0

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即
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(b-a)\sin2\theta+2h\cos2\theta=0

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当h\ne 0时，取余切得到旋转角公式为
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\cot2\theta=\frac{a-b}{2h}

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在得知此公式后，另一种更较为简单的获得Q的方式就是直接使用旋转角公式得到\theta，然后写出Q
之后我们再考虑使用实对称矩阵A的特征分解\Lambda=Q^TAQ获得\Lambda，最后直接写出简化后的式子
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u^T\Lambda u+2d^TQu+c=0

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