前言

部分内容摘录自《线性代数入门》梁鑫、田垠、杨一龙 清华大学出版社

方法

设\textbf{A}是n阶矩阵，以下叙述等价

1. \textbf{A}可逆
2. 任取n维向量\textbf{b}，线性方程组\textbf{Ax=b}的解唯一
3. 齐次线性方程组\textbf{Ax=0}只有零解
   • 补充定量结论：若上述齐次线性方程组方程的个数小于未知数的个数，则\textbf{A}一定不可逆
4. \textbf{A}对应的阶梯型矩阵有n个主元
5. \textbf{A}对应的行阶梯形矩阵一定是I_n
6. \textbf{A}是有限个初等矩阵的乘积
7. 补充：\textbf{A}的秩为n
8. 定性结论：对角占优矩阵一定可逆
9. 定量结论：上（下）三角形矩阵可逆当且仅当其对角元素都不为零.此时，其逆矩阵也是上三角矩阵，逆矩阵的对角元素是该矩阵的对应对角元素的倒数

证明

对于1~6，采用轮转证法

• 1->2：考虑\textbf{A}确定的线性映射\textbf{A}: R^n \rightarrow R^n, \textbf{x} \mapsto Ax. 方针A可逆当且仅当A是可逆映射，这等价于\textbf{A}既是单射又是满射，满射等价于方程组总有解，单射等价于方程组解唯一
• 2->3: 显然，令\textbf{b}等于\textbf{0}即可
• 3->4: 解此方程组，使用初等行变换将\textbf{A}化为阶梯型矩阵，方程组有唯一解等价于阶梯形矩阵阶梯数与未知数个数n相等，故主元数等于阶梯数n
• 4->5: 显然，因为\textbf{A}有n个主元，即\textbf{A}的对角元素全部不为0，那么总可通过初等行变换将非对角元素化为0
• 5->6: 由假设，我们可以用一系列初等行变换把\textbf{A}化为I_n,即存在一系列初等矩阵E_1,E_2,\cdots,E_t,使得E_t\cdots E_1 A = I_n，注意到初等矩阵均可逆，因此A=E_1^{-1}\cdots E_t^{-1}
• 6->1: 初等矩阵均可逆，而可逆矩阵的乘积也可逆

对于补充3：
因为方程的个数小于未知数的个数，此方程组的行阶梯型矩阵阶梯数一定小于未知数个数，则一定存在非零解
对于补充7:
显然，由秩的定义容易得到结论

对于8:
定义：如果矩阵A=[a_{ij}]_{n\times n}对i=1,2,\cdots,n，都有|a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}|，则称其为（行）对角占优矩阵

那么要证行对角占优矩阵A可逆，只需证明Ax=0只有零解.
设\textbf{x}的分量中，绝对值最大的元素为x_i，考虑方程组的第i个方程:
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a_{i1}x_1+\cdots+a_{ii}x_i+\cdots+a_{in}x_n=0 (*)

:::
若x_i\ne 0，根据对角占优性质，有
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|a_{ii}||x_i| \overset{*}{=} |\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j \le \sum_{j\ne i}|a_{ij}||x_j|< \sum_{j\ne i}|a_{ij}||x_i|<|a_{ii}x_i|

:::
矛盾，故得结论