前言

笔者在看到分块矩阵相应内容时看到了这个公式，其在矩阵分析、系统和控制论等领域有广泛应用。事实上，它的思想和构造过程是如此的巧妙，值得我们去仔细探讨

引入

首先讨论对分块矩阵 A=\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}
作Gauss消元法，仅是数变成了矩阵，我们设A_1^{-1}可逆，则A左相抵（清华书，同济书称行等价）于
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\begin{bmatrix} I & O \\ -A_{21}A_{11}^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{bmatrix}(1)

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与作基于数的Gauss消元类似，惯例上我们需要将左下角的矩阵化为零矩阵，即我们需要将它减去——左上角矩阵化为恒同矩阵I后左乘它自己，这里等式的左侧第一个矩阵就是执行此操作的初等倍加矩阵，它由初等矩阵执行刚才的倍加操作得到

由上一篇文章的结论，等式左侧第一个初等矩阵¥¥一定可逆，等式右侧的矩阵可逆在假设的条件下等价于A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}可逆，所以A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}可逆等价于矩阵A可逆

重要命题

若矩阵A_{11}和A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}可逆，则矩阵\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}可逆，且
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\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & -A_{11}^{-1}A_{12} \\ O & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} & O \\ O & (A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & O \\ -A_{21}A_{11}^{-1} & I \end{bmatrix} (2)

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笔者：有一丝QR分解的影子

证明命题

对(1)式右边消去右上角矩阵，即
\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -A_{11}^{-1}A_{12} \\ O & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & O \\ O & A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{bmatrix}(3)
我们在这里作了一个初等列倍加变换

之后结合(1)(3)两式，
对(3)式两边右乘\begin{bmatrix} I & -A_{11}^{-1}A_{12} \\ O & I \end{bmatrix}的逆，即\begin{bmatrix} I & A_{11}^{-1}A_{12} \\ O & I \end{bmatrix},之后代入(1)式右端

再两边左左乘\begin{bmatrix} I & -A_{11}^{-1}A_{12} \\ O & I \end{bmatrix}的逆

最后等式两边取逆即可得结论

矩阵A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}称为A_{11}关于A的Schur补

推论

类似地，我们有如下推论：
若矩阵A_{22}和A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}可逆，则矩阵\begin{bmatrix} A_{11} & A_{22}\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}可逆，且
\begin{bmatrix} A_{11} & A_{22}\\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} I & O\\ -A_{22}^{-1}A_{21} & A_{22}^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & O\\ O & A_{22}^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -A_{12}A_{22}^{-1}\\ O & I \end{bmatrix} (4)

笔者：2x2矩阵的Schur补，最起码在取矩阵主对角线元素对于矩阵的Schur补时，都是
该元素 - 从该元素左或右侧的元素开始顺时针的元素的乘积(在遇到主对角线另一个元素时要取逆)

Sherman-Morrision-Woodbury公式

将(3)(4)右端乘开，因为二式左端相等，所以右端矩阵也必然相等，比较右端矩阵的左上角即可得到
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(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} = A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1}A_{12}(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1}A_{21}A_{11}^{-1}

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这给出了一定条件下一个可逆矩阵加上某个矩阵乘积后的逆的公式，常称为Sherman-Morrision-Wodbury公式

简化版：Sherman-Morrison公式

对于分块矩阵\begin{bmatrix} A & u\\ -v^T & 1 \end{bmatrix}，其中A是n阶方阵，u，v是n维向量

Sherman-Morrison公式: 若A可逆，则A+uv^T可逆当且仅当1+v^TA^{-1}u\ne 0（笔者：正好是俩Schur补），且可逆时
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(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}

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笔者很喜欢这个简化形式，因为A+uv^T与1+v^TA^{-1}u正好是此分块矩阵右下块和左上块关于此矩阵的Schur补，等式左侧与右侧分母也是这样，而右侧分子很有对称性

应用

为什么要这样？

我们说了那么多，但是，为什么要这样做？为什么会想到这样做？下面是笔者的一些推测
我们知道，对于任意一个2x2分块矩阵，直接判断其可逆性很非常不方便的，但是对于一个已经确定的基于数的矩阵，我们是可以通过Gauss消元法将其化为行阶梯型矩阵来判断其可逆性的，那么：
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对于任意的一个分块矩阵，我们是否也可以通过类似的想法来方便的判断出它的可逆性呢？

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如果我们这样想的话，最后我们就会得到Schur补，如果我们更进一步去考虑这个矩阵的逆是什么，我们就会得到Sherman-Morrison-Woodbury公式。
所以在我们惊叹于如此巧妙的构造之时，千万不要忘记数学家们也拥有着很强的类比能力，而这对于研究才是最重要的。