前言

海涅定理是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限可化为求数列极限，而求数列极限可化为求函数极限，应用海涅定理人们可以把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则
注：本篇文章不会去探讨海涅定理的证明过程，如有需要读者可自行了解

定理

定理表述

极限
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\lim_{x\to a}f(x)=b

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存在的充要条件是：取f(x)定义域内的任意数列\{a_n\}，有
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\lim_{n\to \infty}a_n=a,且a_n\ne a，有\lim_{n\to \infty}f(a_n)=b

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笔者的理解

笔者：也就是说，若要获得一个函数在趋于a时的极限b，我们可以考虑构造在其定义域内的一个数列，在条件合适时，我们应有
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\lim_{x\to a}f(x)=\lim f(函数定义域内任意极限为a的数列)

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同样的，若要获得一个数列的极限b，我们可以考虑构造一个特殊的函数f(x)，使将我们要求极限的数列代入这个函数后可获得
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a_n=f(n)

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因为\{n\}这个数列的极限是正无穷，若函数f(x)在x趋于正无穷时有极限b，则a_n=f(n)在n趋于无穷时的极限，应等于b
*：注意到我们使用了特殊的数列{n}来帮助我们获得待求数列的极限，有些时候求函数在趋于正无穷时的极限较为麻烦，我们也可以使用{1/n}这个数列，那么此时我们只需要求函数在趋于0+时的极限即可

实战

一：判断函数极限不存在

e.g：证明lim_{x\to 0^+}\sin(\frac{1}{x})的极限不存在
证：
由之前我们提到的：
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\lim_{x\to a}f(x)=\lim f(函数定义域内任意极限为a的数列)

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我们可以构造两个收敛于0^+的数列，并计算f(这两个数列)的极限，若得到的两个值不同，则该函数极限不存在
故构造a_n=\frac{1}{2\pi n}，b_n=\frac{1}{2\pi n+\frac{\pi}{2}}，这两个数列均收敛于0，将这两个数列代入函数后，易得极限不同，故得证

二、求数列的极限

e.g: 数列极限\lim_{n\to \infty}(ntan\frac{1}{n})^{n^2} = \lim_{x->0^+}(\frac{\tan x}{x})^{\frac{1}{x^2}}
注：我们使用了特殊数列\{\frac{1}{n}\}
此时极限变为函数极限，为1^\infty型，易得答案为e^{\frac{1}{3}}