前言

笔者在看到Beta函数时发现其可以用于证明广义点火公式，故作简单推导并记录过程，可能不够严谨，读者若要研究请仔细斟酌

广义点火公式（又称双元点火公式）

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^mx \cos^nxdx= \left \{ \begin{matrix} \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\\ \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\frac{\pi}{2} \end{matrix} \right .

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上面的式子为n,m不同时为偶数时，下面的式子为n,m均为偶数时
注：n或m为0时不适用，请使用单元点火公式

证明

\begin{aligned} &\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^mx\cos^nxdx \\ &= \frac{1}{2}B(\frac{n+1}{2},\frac{m+1}{2})\\ &= \frac{1}{2}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{m+1}{2})}{\Gamma(\frac{n+m}{2}+1)}(*) \end{aligned}

当n+m为偶数时

若n，m均为偶数

此时分子\Gamma{(\frac{n+1}{2})}\Gamma(\frac{m+1}{2})由假设可写为\Gamma(k+\frac{1}{2})
又\Gamma(k+\frac{1}{2})=\frac{(2k-1)!!}{2^k}\sqrt{\pi}
故原式=\frac{1}{2}\frac{\frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n}{2}}}\sqrt{\pi}\frac{(m-1)!!}{2^{\frac{m}{2}}}\sqrt{\pi }}{\Gamma(\frac{n+m}{2}+1)}

对分母，由假设，试令n+m=2t，则
\begin{aligned} &\Gamma(\frac{n+m}{2}+1)\\ &=\Gamma(t+1)\\ &=t!\\ &=\frac{(2t)!!}{2^t} \end{aligned}
回代t得
原式=\frac{(n+m)!!}{2^{\frac{n+m}{2}}}
分子分母代入(*)得
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\frac{(n-1)!!(m-1)!!}{(n+m)!!}\frac{\pi}{2}

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若n，m均为奇数

不妨令n=2a+1,m=2b+1
则(*)为
\begin{aligned} &\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+2)}\\ &=\frac{a!b!}{2(a+b+1)!}\\ &=\frac{(2a)!!\cdot(2b)!!}{(2a+2b+2)!!} \end{aligned}
回代a,b得
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\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}

:::

当n+m为奇数时

此时n，m中必有一个数为奇数，不妨令n为奇数m为偶数
则对分子有
\Gamma(\frac{n+1}{2})=\frac{n-1}{2}!=\frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n-1}{2}}}
\Gamma(\frac{m+1}{2})=\frac{(m-1)!!}{2^{\frac{m}{2}}}\sqrt{\pi}
对分母，由假设，试令n+m=2t-1，则
\begin{aligned} &\Gamma(\frac{n+m}{2}+1)\\ &=\Gamma(t+\frac{1}{2})\\ &=\frac{(2k-1)!!}{2^k}\sqrt{\pi} \end{aligned}
回代t得
原式=\frac{(n+m)!!}{2^{\frac{n+m+1}{2}}}\sqrt{\pi}
分子分母代入(*)得
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\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}

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最后

最后综上可得结论

关于在任意π/2的整数倍区间上的使用

请见这里