前言

笔者在手开傅里叶级数时踩了很多的坑，也发现了一些技巧，故分享在此篇文章
本篇文章没有太多探索类内容，大多数为纯应试技巧，读者请酌情阅读

常错的点

1. 误判了函数的周期：例如|\cos x|的周期是\pi而不是2\pi
2. 忘记算a_0：对于笔者这种初学者而言，是这样的（悲）
3. 在写最后的展开式时a_0忘记除以2：比如f(x)=a_0+...(忘记除2)
4. 在计算a_n b_n时漏掉需要单独讨论积分过程中分母可能为0的情况：诸如在计算a_n积分中出现了\frac{...}{n-1}时我们需要单独讨论a_1
5. 代入积分上下限时发生错误
6. 最后写展开级数的时漏掉了\sin nx或\cos nx：比如f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_n(此处忘记了\cos nx) + b_n(此处忘记了\sin nx)

常用技巧

某些情况下可以简化计算

分部积分表格法

此方法对于手开傅里叶级数帮助最大，笔者不做解释，读者若需要请自行在互联网查找

积化和差口诀

\begin{aligned} &\sin(nx)\cos(mx)=\frac{1}{2}[\sin(n+m)x +\sin(n-m)x]\\ &\cos(nx)\sin(mx)=\frac{1}{2}[\sin(n+m)x -\sin(n-m)x]\\ &\cos(nx)cos(mx)=\frac{1}{2}[\cos(n+m)x +\cos(n-m)x]\\ &\sin(nx)\sin(mx)=-\frac{1}{2}[\cos(n+m)x -\cos(n-m)x]\\ \end{aligned}
笔者常用的版本：
积和差，半倍前（等号右边为1/2）
异得正，同得余（等号左边决定右边三角函数的选择）
和在前，差在后（等号右边三角函数括号内）
余在后，号为正（等号左边余弦所在的位置决定右边中间符号选择）
双正加负号（等号左边是两个正弦时，右边最前面加负号）

三角函数正交性结论

一个最小正周期内的正交性

此部分笔者不想过多讨论，互联网上绝大多数提到三角函数系的正交性都指在此情况下，证明过程也有很多
具体来说，对于m,n\in \mathbb{N}^*：
\begin{aligned} &<\frac{1}{\sqrt{2}},\sin(nx)>=0\\ &<\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(nx)>=0\\ &<\sin(mx),\cos(nx)>=0\\ &<\sin(mx),\cos(nx)>=0(m\ne n)\\ &<\cos(mx),\cos(nx)>=0(m\ne n)\\ \end{aligned}
注：实变函数的内积

半个最小正周期的正交性

注：我们这里只证明[0,π]上，在[(k-1)π,kπ]只需作换元，结论依然成立
m,n\in\mathbb{N}^*此时有
\begin{aligned} &<\sin(mx),\sin(nx)>=0(m\ne n)\\ &<\cos(mx),\cos(nx)>=0(m\ne n)\\ &<1,\cos(mx)>=0\\ &<1,\sin(mx)>=0(m=2k) \end{aligned}
其他情况下的正交性被破坏

复积分

在被展开函数带e次幂时有奇效
e.g.在-\pi上展开e^{dx}
a_0请读者自行计算
则
a_n=\begin{aligned}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{dx}\cos(nx)dx \end{aligned}
此时我们不考虑分部积分，而转而使用欧拉公式
\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{dx}(e^{inx}+e^{-inx})dx\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(d+in)x}+e^{(d-in)x}dx\\ &=\frac{1}{2\pi}(\frac{e^{in\pi}e^{d\pi}-e^{-in\pi}e^{d\pi}}{d+in}+\frac{e^{-in\pi}e^{d\pi}-e^{in\pi}e^{d\pi}}{d-in})\\ &=\frac{1}{2\pi}(\frac{(-1)^ne^{d\pi}-(-1)^ne^{d\pi}}{d+in}+\frac{(-1)^ne^{d\pi}-(-1)^ne^{d\pi}}{d-in})\\ &=\frac{1}{2\pi}((-1)^n\frac{2d\sinh(d\pi)}{d^2+n^2}) \end{aligned}
其中\sinh(x)即是双曲正弦函数\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}
同理得
b_n=\frac{2n(-1)^{n+1}\sinh(d\pi)}{\pi(d^2+n^2)}
...
可见此方法相较于分部积分节省了大量计算，因而大大减少了出错的可能

各种需要讨论的问题

对于n\in \mathbb{N}

1. \sin(n\pi)=0
2. \cos(n\pi)=(-1)^n
3. \sin(\frac{n\pi}{2})=\left\{\begin{matrix}0 & n=2k\\(-1)^k & n=2k+1\end{matrix}\right .
4. \cos(\frac{n\pi}{2})=\left\{\begin{matrix}(-1)^k & n=2k\\0 & n=2k+1\end{matrix}\right .