绝对可积条件

如果一个定义在区间 $(-\infty,\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足条件
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$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx<\infty$

:::
则称 $f(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上绝对可积

绝对可积空间有黎曼-勒贝格定理
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$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx<\infty$

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且有
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$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$

:::

傅里叶变换

在满足绝对可积条件下，周期为 $T=2l$ 的函数可展开为一般周期的傅里叶级数
此周期函数可转变为一个定义在 $(-\infty,\infty)$ 上的非周期函数，即取 $l\to\infty$ ，此时的傅里叶级数便可扩展到 $(-\infty,\infty)$

变换与逆变换

时域上的函数 $f(x)$ 经傅里叶变换到频域上的函数 $\mathcal{F}_{[f]}(\omega)$ 为
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$\mathcal{F}_{[f]}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$

:::
而它的逆变换为
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$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}_{[f]}(\omega)e^{i\omega x}dw$

:::
此逆变换积分的积分路径为整个实轴，可以构造复平面上半平面或下半平面的围道积分后使用留数定理和Jordan引理求解

为什么

读者可能会问为什么，事实上，我们不妨变换一下视角，我们日常生活中“见到”的信号，均是对于事件而言的

例如我们的声音信号（这里笔者假设这里的声音是“Do”），它的波形是关于时间的函数（正弦函数）
但若我们从频率来看，每个“Do”声均只有它唯一的频率，所以在频率上看，它是一个固定的函数

在诸如此类问题的情况下，分析频率下主导下的函数行为可能会比时间主导下的函数行为简单的多，傅里叶变换就是一种可以将函数从时域变换到频域的工具
傅里叶变换.jpg

粗略地说，我们可以将 $f(t)$ 看作时域上的函数，而 $e^{-i\omega t}$ 由复数的知识，我们可以将其看作半径为1的圆上的点， $\omega$ 是圆周运动的圆频率

而当我们将 $f(t)$ 乘以 $e^{-i\omega t}$ 后，它在复平面上的图像将变为一个半径随时间改变的圆
将这些变半径的圆无限拆分，则每个圆的半径是一定的，把每个圆上的点不断作为新的圆的圆心，之后让这些圆上的点以圆频率 $\omega$ 做圆周运动（即通过对时间的积分将圆上运动的点->完整的圆），便可得到下面的图形
积分后的傅里叶变换.jpg

最终我们得到的，就是这些“圆”的函数，它们只有一个变量 $\omega$ ，在频域上的图像请见上面的图

傅里叶正弦变换和余弦变换

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$\hat{f_c(x)}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos\omega xdx$

:::
和
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$\hat{f_s(x)}\int_{0}^{\infty}f(x)\sin\omega xdx$

:::

变换中的常用反常积分

$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\sin\omega xdx=\frac{\omega}{a^2+\omega^2}$
$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos\omega xdx=\frac{a}{a^2+\omega^2}$
$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\omega x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$
$\int_{0}^{\infty}e^{-a^2x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2a}$

傅里叶变换的一些性质

奇偶性

时域上实域内的偶函数变换后是频域上实域内的偶函数
时域上实域内的奇函数变换后是频域上纯虚数域的奇函数

伸缩和平移

若 $g(x)=f(ax+b)$ 是时域上的函数，则
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$\mathcal{F}_{[g]}(\omega)=\frac{1}{|a|}e^{\frac{i\omega b}{a}}\mathcal{F}_{f}(\frac{\omega}{a})$

:::
特别地，
(1)当 $a=1$ 时
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$\mathcal{F}_{[g]}(\omega)=e^{i\omega b}\mathcal{F}_{f}(\omega)$

:::
即时域信号左移 $b$ ，频域信号乘 $e^{i\omega b}$
(2)当 $b=0$ 时
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$\mathcal{F}_{[g]}(\omega)=\frac{1}{|a|}\mathcal{F}_{f}(\frac{\omega}{a})$

:::
即时域信号横向压缩至原 $\frac{1}{a}$ 倍，频域信号横向膨胀至原 $a$ 倍，振幅压缩至原 $\frac{1}{a}$ 倍

调制与解调

关于载波通信的简单科普，请见(上科 1977) 载波通信
将信号施加载波信号 $e^{icx}$ 我们将得到
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$\mathcal{F}_{[f]}(\omega-c)=\mathcal{F}_{[e^{icx}f]}(\omega)$

:::
此时频域的信号右移，也就是说信号被调制到了高频信道
在接受端将信号施加 $e^{-icx}$ ，即可还原信号

类似地，将信号施加正弦和余弦信号，将得到
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$\mathcal{F}_{[f\cos(cx)]}=\frac{\mathcal{F}_{[f]}(\omega-c)+\mathcal{F}_{[f]}(\omega + c)}{2}$

:::
和
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$\mathcal{F}_{[f\sin(cx)]}=\frac{\mathcal{F}_{[f]}(\omega-c)-\mathcal{F}_{[f]}(\omega + c)}{2i}$

:::

简单复合

$\mathcal{F}_{[kf]}=k\mathcal{F}_{[f]}$
$\mathcal{F}_{[f+g]}=\mathcal{F}_{[f]}+\mathcal{F}_{[g]}$
$\mathcal{F}_{[xf]}=i\frac{d}{d\omega}\mathcal{F}_{[f]}$

导数

若我们考虑对时域信号 $f(x)$ 求导，则有
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$\mathcal{F}_{[f^{(n)}]}(\omega)=(i\omega)^n\mathcal{F}_{[f]}(\omega)$

:::

应用（求解微分方程，数学分析）

考虑微分方程
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$af''(x)+bf(x)+cf(x)=g(x)$

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若对等式两侧做傅里叶变换则有
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$[a(i\omega)^2+b\omega+c]\mathcal{F}_{[f]}(\omega)=\mathcal{F}_{[g]}(\omega)$

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此时有
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$\mathcal{F}_{f}(\omega)=\frac{\mathcal{F}_{[f]}(\omega)}{a(i\omega)^2+b\omega+c}$

:::
再使用逆变换即可得到解 $f(x)$

更复杂的微分方程可能需要拉普拉斯变换

卷积（二维）

此概念来自于概率论，假设连续型随机变量 $Z$ 与二维随机变量 $(X,Y)$ 之间有 $Z=X+Y$ 的关系，讨论 $Z$ 与 $X$ 之间的关系
假设我们令换元后的积分变量为 $y$ ，则有
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$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)dy$

:::
其中 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度

特别地，当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时， $Z$ 的概率密度和 $X,Y$ 的边缘概率密度之间有关系
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$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dx$

:::
此时定义这种操作为 $f_X*f_Y$

此时卷积操作是可交换的 $f_X*f_Y=f_Y*f_X$

傅里叶变换与卷积（实域函数）

取 $z=x$ ，我们可得类似概念
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$f*g=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)dy$

:::
当 $f,g$ 在实域上时
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$\mathcal{F}_{[f*g]}=\mathcal{F}_{[f]}\mathcal{F}_{[g]}$

:::
即时域卷积等于频域乘积

时限信号与带限信号

时限信号

即时域上的信号 $f(x)$ 满足
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$f(x)=0,|x|\ge M$

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带限信号

即频域上的信号 $\mathcal{F}_{[f]}(\omega)$ 满足
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$\mathcal{F}_{[f]}(\omega)=0,|\omega|\ge M$

:::

sinc函数

理想滤波

考虑理想的低通滤波器，它在频域是一个矩形函数（记为 $rect(\omega/2B)$ ），其中B为截止频率

当频率 $|\omega|时，增益为1（完全通过）$
当频率 $|\omega|>B$ 时，增益为0（完全抑制）

对其进行傅里叶变换的逆变换，就会得到
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$h(x)=\mathcal{F}^{-1}\{rect(\omega/2B)\}=\frac{B}{\pi}sinc\frac{Bt}{\pi}$

:::
其中 $sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$ （此处为归一化形式）

又由于上面我们知时域卷积等于频域乘积，所以要对信号进行低通滤波，相当于将 $sinc$ 函数与信号在时域进行卷积，具体选择时域卷积还是变换后频域乘积视具体情况而定

而理想的高通滤波器为

当频率 $|\omega|时，增益为0（完全抑制）$
当频率 $|\omega|>B$ 时，增益为1（完全通过）

故滤波器应为 $1-rect(\omega/2B)$
对其进行傅里叶变换的逆变换，就会得到
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$h(x)=\mathcal{F}^{-1}\{1-rect(\omega/2B)\}=\delta(x)-\frac{B}{\pi}sinc\frac{Bt}{\pi}$

:::
其中 $\delta(x)$ 为狄拉克冲激函数

狄拉克冲激函数

令
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$f_k(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{k}{2} & |x|<\frac{1}{k}\\ 0 & |x|>\frac{1}{k} \end{matrix}\right .$

:::
此后取 $\lim_{k\to\infty}f_k(x)=\delta(x)$
它的傅里叶变换等于常数1

香农采样定理

香农采样定理指出
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如果一个连续信号 $x(t)$ 的最高频率成分为 $f_{max}$
，当采样频率 $f_s$ 满足 $f_s\ge 2f_{max}$ 时，可以通过采样后的离散信号完全重建原始信号

:::
其中 $2f_{max}$ 称为奈奎斯特频率, $\frac{f_s}{2}$ 称为称为奈奎斯特带宽

采样操作等价于每隔 $T_s$ 将原信号 $x(t)$ 测量一次，最终得到离散的数值
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$x_s(t)=x(t)s(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(t)\cdot\delta(t-nT_s)$

:::
其中 $f_s=\frac{1}{T_s}$
将此狄拉克脉冲函数与信号相乘后，只有 $t=nT_s$ 时的信号被保留，这称为时域筛子效应，虽然时域上信号不再完整，但在频域上原信号频谱的形状却不变，只是周期性的重复（见下）

在频域中，采样后的信号频谱时原信号频谱的周期延拓，如果 $f_s<2f_{max}$ ，周期延拓的频谱会互相重叠，无法区分不同周期的频率成分，但在采样频率大于奈奎斯特频率时，延拓的频谱之间无重叠，就可以使用低通滤波，截取基带频谱后恢复信号

帕斯瓦尔定理

帕斯瓦尔定理（Parseval's theorem）表明信号在时域和频域上的能量相等
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$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\mathcal{F(\omega)}|^2d\omega$

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常用函数表

名称	函数	傅氏变换
冲激函数	$\delta(t)$	1
常数函数“1”	1	$2\pi\delta(\omega)$
单边指数衰减	$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a+i\omega}$
正弦函数	$\sin(\omega_0 t)$	$i\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$
余弦函数	$\cos(\omega_0 t)$	$-\pi[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$
高斯函数	$e^{-at^2}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}$
矩形脉冲	$rect(t/2B)$ （宽度为 $2B$ ，关于纵轴对称，高度为1）	$2BSa(B\omega)\space(Sa(x)=\frac{\sin(x)}{x})$
双边指数衰减	$e^{-a\lvert x\rvert}$	$\frac{2a}{a^2+\omega^2}$