矩阵

定义

矩阵（Matrix） 是一个数字构成的矩形数组，数组中的数字称为矩阵的元素（entries） ，矩阵的大小（order） 表示为矩阵的行数乘列数，例：

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}

这个矩阵的order是2\times3

如果一个矩阵的行数和列数相同，我们称之为方阵（square matrix）

只有一行或一列的矩阵被称为向量:\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \end{pmatrix},是个行向量(row vector) ;\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix},是个列向量(column vector)

如果两个向量有相同的大小和方向，则我们认为他们是相同的(equivalent)

如果两个矩阵有相同的order，并且对应位置元素是相同的，则我们称他们是相同的

方阵的主对角线是（从左上到右下的线）:[A]_{11},[A]_{22},......[A]_{nn}

根据主对角线，我们可以再发散出关于对角矩阵（diagonal matrix） 、上三角行列式（upper triangular matrix） 、下三角行列式（lower triangular matrix）

对角矩阵：

除了主对角线，其他位置的元素必须为0

上三角行列式：

除了主对角线和主对角线以上的部分，其他位置的元素必须为0

下三角行列式：

除了主对角线和主对角线以下的部分，其他位置的元素必须为0

运算法则

矩阵的加法（Matrix Addition）

规则：只有相同order的矩阵才能相加，相加时每个位置的对应元素相加，相加的结果存放在一个新的相同order的矩阵的对应位置上

\begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} g&h&i\\ j&k&l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+g&b+h&c+i\\ d+j&e+k&f+l \end{pmatrix}

减法的做法和加法相同

数乘矩阵（Scalar Multiplication）

规则：一个标量与矩阵中的每个元素相乘，结果存放在一个新的矩阵的对应位置上，得到的结果是一个与被乘的矩阵有相同order的矩阵

a\times \begin{pmatrix} b&c&d\\ e&f&g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\times b&a\times c&a\times d\\ a\times e&a\times f&a\times g \end{pmatrix}

零矩阵（Zero matrix）

定义：所有元素均为0的矩阵

规则：任意矩阵加零矩阵的结果就是它本身，任意矩阵与自己相减结果就是零矩阵

矩阵的加法交换律

[(A+B)+C]_{ij} = [A+(B+C)]_{ij}