矩阵的乘法公式

这里我们用数学的语言对这个公式进行一下描述：

[AB]_{ij} = \begin{pmatrix} a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&...&a_{in} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1j}\\b_{2j}\\.\\.\\.\\b_{nj} \end{pmatrix} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

其中[AB]_{ij}是矩阵AB的第(i,j)项

单位矩阵（Identity Matrices）

一个n\times n的单位矩阵I_{n}是一个主对角线上的元素全是1，其余位置全是0的n\times n的方阵

举个例子：

I_{3}= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

任何一个矩阵与单位矩阵相乘，结果都是这个矩阵自己：

若有任意一个m\times n的矩阵A，则有：AI_{n} = A ==and== I_mA = A

矩阵的迹（Trace of a Matrix）

计算方法：==说白了就是对角线上所有元素相加==

Tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}

矩阵的除法（Matrix Dividend）

如果我们想要除一个矩阵A，相当于我们想去乘这个矩阵的逆A^{-1}

矩阵的逆（Inverse）

我们希望有：

AA^{-1}=A^{-1}A=I

我们还需要添加一个约束条件：我们目前只研究方阵

定义：

假设有一方阵A,如果存在一个方阵B使AB=BA=I，则我们称A是==可逆的（invertible）== ，方阵B称为方阵A的逆，如果这样的方阵B不存在，则称A是==奇异的（singular）(不可逆的)==

注意：==所有不是方阵的矩阵都是奇异的==

==所以给定一个方阵，====该如何求矩阵的逆呢？==

给定两个矩阵A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} and M= \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}

AM= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab\\ cd-cd & -cd+ad \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}

MA= \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc & bd-bd\\ -ac+ac & -cd+ad \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad-bc \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}

如果ad-bc\neq 0，则：

I= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}MA

如果ad-bc\neq 0,我们怎样才能根据M获得A^{-1}呢？

\frac{1}{ad-bc} MA=I,thusA^{-1}=\frac{1}{ad-bc}M

求逆的定理(包含行列式的定义)

设A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}

1:当且仅当ad-bc\neq 0,A是可逆的

2:当ad-bc\neq 0,则有：

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}

3:（行列式的定义）若A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},则ad−bc被称为行列式（determinant）：

det(A) = ad-bc

==当且仅当==det(A)\neq 0====，====A==是可逆的==

也有：

A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix}