方阵的行列式（高阶）(Determinants of a Square Matrix)

如果有一个矩阵 $A$ ，已知 $A$ 的行列式 $det(A)=-13$ ，我们也可以将其写为 $｜A｜=-13$

对于任意大小的方阵，我们可以计算一个被称为行列式的量，如果我们知道了如何计算 $(n-1)\times(n-1)$

矩阵的行列式，我们就可以计算一个 $n\times n$ 矩阵的行列式。但是我们先要了解一下关于“子式”和“代数余子式”的概念

子式（minors）和余子式（cofactors）

定义：设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵， $A$ 的 $(i,j)-$ 子式是从 $A$ 中删除第 $i$ 行和 $j$ 列后得到的矩阵的行列式，它被记为 $M_{ij}$ ， $A$ 的 $(i,j)-$ 余子式被记为： $C_{ij}$

C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

若我们有一个矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&....&a_{2n}\\.&.&....&.\\a_{n1}&a_{n2}&....&a_{nn} \end{pmatrix}$ ，则有：

det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+......+a_{1n}C_{1n}

这个公式是基于矩阵 $A$ 的第一行进行扩展的。

做个题看看呢：
例P5：

假设有一个矩阵 $A= \begin{pmatrix} 4&2&-5\\ 1&-1&0\\ -3&-4&2 \end{pmatrix}$ 计算它的行列式 $det(A)$

C_{11}=(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -1&0\\ -4&2 \end{vmatrix} = (-1)^2(-2)=-2

C_{12}=(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1&0\\ -3&2 \end{vmatrix} = (-1)^3(2)=-2

C_{13}=(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1&-1\\ -3&-4 \end{vmatrix} = (-1)^4(-7)=-7

THUS:

det(A) = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}

=4\times (-2) + 2\times (-2)+(-5)\times (-7)=23

当且仅当 $det(A)\neq0$ ，A是可逆的 $,所以A是可逆的$

好吧，其实我们可以基于任意一行或任意一列扩展成计算行列式的公式，不一定要局限于第一行！

Theorem：假设有一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ ,则对于任意一行(row) $i$ 有：

det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+......+a_{in}C_{in}

同理，对于任意一列(column) $j$ 也有：

det(A) = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+......+a_{nj}c_nj

对于同一矩阵，无论基于哪一行，哪一列计算行列式，值都是一样的！

但这个东西的证明是有一些困难的：

1、当且仅当 $det(A)\neq 0$ ，A是可逆的

2、若有两个相同order的方阵，则有

det(AB)=det(A)det(B)

（比较难以证明，但可以用线性变换说明）

3、如果矩阵 $A$ 有一行或一列全部为0，则有 $det(A)=0$

4、 $det(kA) = k^ndet(A)$

5、 $det(A+B) \neq det(A)+det(B)$

不难看出，对于一个 $3\times3$ 的矩阵 $A$ 来说，我们可以计算出9个余子式，而这九个余子式又可以组成一个全新的矩阵 $B$ ，被称为余子式矩阵（matrix of cofactors） ：

B= \begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&C_{13}\\ C_{21}&C_{22}&C_{23}\\ C_{31}&C_{32}&C_{33} \end{pmatrix}

对 $m\times n$ 的矩阵 $M$ 进行转置操作会获得 $n\times m$ 的全新矩阵，记为 $M^T$

其变换方法说白了就是把 $M$ 的 $i$ 行作为 $M^T$ 的 $i$ 列

这两个矩阵的每个元素间存在这样的对应关系：

[M^T]_{ij} = [M]_{ji}

设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，令 $C_{ij}$ 代表 $A$ 的 $(i,j)-$ 余子式（cofactor）,当且仅当 $det(A)\neq 0$ 时 $A$ 是可逆的。此外，如果 $A$ 是可逆的，则 $A$ 的逆可以用以下方法求解：

A^{-1}=\frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&....&C_{1n}\\ C_{21}&C_{22}&....&C_{2n}\\ .&.&.&.\\ C_{n1}&C_{n2}&.&C_{nn} \end{pmatrix} ^T

后面跟随的这一大坨被称为余子式矩阵：

\begin{pmatrix} C_{11}&C_{12}&....&C_{1n}\\ C_{21}&C_{22}&....&C_{2n}\\ .&.&.&.\\ C_{n1}&C_{n2}&.&C_{nn} \end{pmatrix}