线性变换（Linear Transformations）

我们将研究由矩阵A引起的线性变换对单位正方形的影响，然后研究由A的逆矩阵（A^{-1}）引起的线性变换对单位正方形的影响。

在二维的xy平面中，我们观察一个函数\映射（称为线性变换）：

T_A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2

我们假设这个变换是基于A= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-1\\ 0&2 \end{pmatrix}进行的,我们的目标是把一个单位正方形映射到一个全新的四边形上

这个单位正方形的四个顶点分别是：

P= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , Q= \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} , R= \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}, S= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}

为了绘制出变化后的图像，我们只需要把每个点与矩阵相乘救可以得出变化后的点了！

P= \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , P'=T_A(P)= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-1\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ 0 \end{pmatrix}

Q= \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} , Q'=T_A(Q)= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-1\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\ 2 \end{pmatrix}

R= \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} , R'=T_A(R)= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-1\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}

S= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} , S'=T_A(S)= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&-1\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}


线性变换中行列式的作用（The Determinant）

若我们把一个四边形（其实不一定是四边形，别的封闭图形也可以，甚至在三维空间中的体积也适用）基于矩阵A进行变换，det(A)=a,则变换后的四边形的面积是原来面积的|a|倍

有的时候det(A)的结果可能是负的，这代表啥？

每当空间取向被反转时，行列式将是负数。行列式的绝对值表示面积被缩放的因子

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