从傅氏变换到拉氏变换

在上篇文章中，笔者简要总结了傅氏变换的一些结论，它可以帮我们解决诸多问题，因其给人们提供了一扇不同的窗户（时域—>频域）来观察世界，从这个窗户看，很多事情变得简单多了。

但是注意到，傅氏变换对函数有诸多严格要求，这些要求可总结为狄利克雷条件，相信读者在学习傅里叶级数时已经有所耳闻，其中最重要的就是函数必须满足绝对可积条件（具体是什么，请看上篇文章），为了解决一些绝对不可积函数无法应用傅氏变换的局限性，数学家们想到了一个绝佳的主意
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把不满足绝对可积条件的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于无穷时函数也就可以衰减到零，从而满足绝对可积条件

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数学描述是：
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$\lim_{t\to+\infty}f(t)e^{-\sigma t}=0,\sigma\in \mathbb{R}$

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为了保证 $e^{-\sigma x}$ 一直为衰减函数，我们将 $x$ 限制在正半轴，那么此时再对这个乘以指数衰减的函数在正半轴作傅氏变换
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$\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-(\sigma+i\omega)}dt$

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令 $s=\sigma+i\omega$ ，这就变为了拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

变换与逆变换

变换为
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$\mathcal{L}_{[f(t)]}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$

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逆变换为
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$\mathcal{L}^{-1}_{[F(s)]}(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds$

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此公式又叫做反演积分公式，此逆变换的积分路径与傅氏变换相差较大，傅氏变换的逆变换积分路径为整个实轴（ $-\infty\to\infty$ ），而拉氏变换的逆变换积分路径变为了复平面内的一条直线 $Re(s)=\sigma$ ，若使用留数定理处理此积分需要构造左半平面或右半平面的围道积分，此时Jordan引理依旧可用

性质

拉氏变换的很多性质与傅氏变换类似
在这篇文章我们使用一张表格表示

名称	时域函数	拉氏变换
线性性	$af(t)+bg(t)$	$aF(S)+bG(S)$
幂函数复合	$t^nf(t)$ （时域多项式增长）	$(-1)^nF^{(n)}(S)$ （频域高阶衰减）（在傅氏变换中，前面的-1变为 $i$ ）
微分	$f^{(n)}(t)$ （时域微分）	$s^nF(s)-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0^-)$ （频域乘法， $s$ 项幂次依次降低，导数阶数依次增高直到 $n-1$ 阶）（在傅氏变换中， $s^n$ 退化为 $(i\omega)^n$ ，且没有后面的求和项）
积分	$\int_{0}^tf(\tau)d\tau$ （时域积分）（傅氏变换为 $-\infty$ 到 $t$ ）	$\frac{F(s)}{s}$ （频域除法）(傅氏变换 $s$ 退化为 $i\omega$ ，且需 $+\pi F(0)\delta(\omega)$ )
调制	$e^{at}f(t)$ （时域调制）（傅氏变换为 $e^{iat}$ ）	$F(s-a)$ （频域平移）
尺移	$f(at+b)$ （时域信号函数移动 $\frac{b}{a}$ ，水平压缩 $a$ ）	$\frac{1}{\lvert a\rvert}e^{s\frac{b}{a}}F(\frac{s}{a})$ （频域水平膨胀 $a$ ，纵向压缩 $a$ ，相位变化 $\frac{b}{a}$ ）（在傅氏变换中， $s$ 退化为 $i\omega$ ）
卷积	$f(t)*g(t)$ （时域卷积）（此时卷积范围为 $0\to\infty$ ，傅氏变换为 $-\infty\to\infty$ ）	$F(s)G(s)$ （频域乘积）

常用函数表

名称	函数	拉氏变换
冲激函数	$\delta(t)$	1
常数函数“1”	1	$\frac{1}{s}$
指数函数	$e^{at}(a\in\mathbb{R})$	$\frac{1}{s-a}$
幂函数	$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
正弦函数	$\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
余弦函数	$\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
双曲正弦函数	$sinh(\beta t)$	$\frac{\beta}{s^2-\beta^2}$
双曲余弦函数	$cosh(\beta t)$	$\frac{s}{s^2-\beta^2}$