矩阵的乘法（Matrix Multiplication）

要求

在乘式左边的矩阵的列数应当与右边矩阵的行数相同（在每次进行计算前都应当检查一下）

规则

左边矩阵的每一行乘右边矩阵的每一列，最后产生一个全新的矩阵

若左边矩阵的order是A\times B,右边矩阵的order是B\times C，则新产生的矩阵的order是A\times C

\begin{pmatrix} 3&2&0\\ -1&4&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 1&2\\ 3&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+2+0&0+4+0\\ -1+4+3&0+8-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4\\6&7 \end{pmatrix}

注意：AB 与 BA不同！

lecture3里有更标准的写法：((20250312164311-xo7xtfm "矩阵的乘法公式"))

线性变换与矩阵乘法（Linear Transformation and Matrix Multiplication）

（个人理解来说，似乎矩阵乘法的实质是线性变换）

以下内容是关于如何使用一个线性变换矩阵来对向量进行变换，也就是如何将一个向量通过矩阵乘法进行缩放旋转等操作

变换矩阵\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}应用于向量\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}上，于是，我们得到了：

\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+by\\cx+dy \end{pmatrix}

上面的式子也被定义为矩阵与向量的乘法（matrix vector multiplication）

还有一种更一般的情况：

\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e&f\\ g&h \end{pmatrix} = ?

我们似乎可以把后面的那个矩阵拆成两个向量：i = \begin{pmatrix} e\\g \end{pmatrix}, j = \begin{pmatrix} f\\h \end{pmatrix}

于是线性变换完的i是：

\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e\\g \end{pmatrix} = e \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} + g \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg\\ ce+dg \end{pmatrix}

线性变换完的j是：

\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f\\h \end{pmatrix} = f \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} + h \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} af+bh\\ cf+dh \end{pmatrix}

把两个式子合起来我们就得到了：

\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e&f\\g&h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg&af+bh\\ ce+dg&cf+dh \end{pmatrix}

上面的这些内容在一定程度上似乎可以说明矩阵乘法的公式是如何得出来的

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